Question

设f（x）是二次函数，且满足f（1-x）=f（x+1），f（1）=-3，f（0）=1，
（1）求f（x）；
（2）作出|f（x）|的图象．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=a•x²+bx+c （a≠0），由题意可得

- b 2a =1 a+b+c=-3 c=1

，解方程组求得a、b、c的值，从而得到f（x）的解析式．
（2）由（1）可得|f（x）|=

4•(x-1)2-3  ，  x＜1- 3 2  或x＞1+ 3 2 4-4•(x-1)2 ，1- 3 2 ＜ x＜1+ 3 2

，由此画出|f（x）|的图象．

解答：解：（1）设f（x）=a•x²+bx+c （a≠0），则由f（1-x）=f（x+1）可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，再由f（1）=-3，f（0）=1可得

- b 2a =1 a+b+c=-3 c=1

．
解得

a=4 b=-8 c=1

，故 f（x）=4x²-8x+1．
（2）由（1）可得 f（x）=4x²-8x+1=4•（x-1）²-3，令f（x）=0可得 x=1±

3

2

，
故有|f（x）|=

4•(x-1)2-3  ，  x＜1- 3 2  或x＞1+ 3 2 4-4•(x-1)2 ，1- 3 2 ＜ x＜1+ 3 2

，如图所示：
 

点评：本题主要考查二次函数的图象和性质，用待定系数法求函数的解析式，属于基础题．