Question

过点M（1，1）作直线与抛物线x²=2y交于A、B两点，该抛物线在A、B两点处的两条切线交于点P．
（I）求点P的轨迹方程；
（II）求△ABP的面积的最小值．

Answer 1

分析：（I）设出过点M（1，1）的直线y=k（x-1）+1与抛物线x²=2y联立，利用导数的几何意义表示切线斜率，将两条直线联立的交点坐标，再结合韦达定理消参即可
（II）将△ABP的边|AB|和点P到直线AB的距离用斜率K表示，利用三角形面积公式S=

1

2

 =|AB|•d，即可计算求△ABP的面积的最小值

解答：解：（I）设直线AB方程为由y=k（x-1）+1，
代入x²=2y，得x²-2kx+2k-2=0

其中△=(-2k)2-4(2k-a)=4[(k-1)2+1]＞0 记A(x1， x 2 1 2 )，B(x2， x 2 2 2 )，则 x1+x2=2k，x1x2=2k-2. 对y= x2 2 求导，得y′=x

则切线PA的方程为y=x1(x-x1)+

x 2 1

2

，即y=x1x-

x 2 1

2

．①
同理，切线PB的方程为y=x2x-

x 2 2

2

．②
由①、②两式得点P的坐标为(

x1+x2

2

，

x1x2

2

)，
于是P（k，k-1），即点P轨迹的参数方程为

x=k y=k-1

消去参数k，得点P的轨迹方程为x-y-1=0．
（II）由（I）知

|AB|= 1+k2 |x1-x2|= (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] =2 (1+k2)(k2-2k+2) .

点P到直线AB的距离d=

|k(k-1)+1-(k-1)|

1+k2

=

k2-2k+2

1+k2

，
△ABC的面积S=

1

2

|AB|•d=(k2-2k+2)

3

2

=[(k-1)2+1]

3

2

．
当k=1时，S有最小值1．

点评：本题考查了直线与抛物线的关系，特别要注意韦达定理，设而不求解题思想的运用