题目内容

A组：已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=
2
3
3
，一条渐近线方程为y=
3
3
x．
（1）求双曲线C的方程
（2）过点（0，
2
）倾斜角为45°的直线l与双曲线c恒有两个不同的交点A和B，求|AB|．
B组：已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=
2
3
3
，一条渐近线方程为y=
3
3
x．
（1）求双曲线C的方程
（2）过点（0，
2
）是否存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且
OA
•
OB
=2，若存在求出直线方程，若不存在请说明理由．
分析：A（1）由题设知
c
a
=
2
3
3
b
a
=
3
3
c2=a2+b2
，由此能求出双曲线C的方程．
（2）设直线l的方程为y=x+
2
，联立
y=x+
2
x2
9
+
y2
3
=1
，得4x2+6
2
x-3=0，再由弦长公式能求出|AB|．
B（1）由题设知
c
a
=
2
3
3
b
a
=
3
3
c2=a2+b2
，由此能求出双曲线C的方程．
（2）假设直线l存在．设直线l的方程为y=kx+
2
，联立
y=kx+
2
x2
9
+
y2
3
=1
，得（3k2+1）x2+6
2
kx-3=0，由
OA
•
OB
=2，得k2=-
1
5
．不成立．故不存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且
OA
•
OB
=2．
解答：解：A（1）∵双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=
2
3
3
，
一条渐近线方程为y=
3
3
x，
∴
c
a
=
2
3
3
b
a
=
3
3
c2=a2+b2
，解得a2=9，b2=3，
∴双曲线C的方程为
x2
9
+
y2
3
=1．
（2）过点（0，
2
）倾斜角为45°的直线l的方程为y=x+
2
，
联立
y=x+
2
x2
9
+
y2
3
=1
，得4x2+6
2
x-3=0，
△=（6
2
）2+4×4×3=120，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
3
2
2
，x1x2=-
3
4
，k=tan45°=1，
∴|AB|=
2[(-
3
2
2
)2-4×(-
3
4
)]
=
15
．
BA（1）∵双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的离心率e=
2
3
3
，
一条渐近线方程为y=
3
3
x，
∴
c
a
=
2
3
3
b
a
=
3
3
c2=a2+b2
，解得a2=9，b2=3，
∴双曲线C的方程为
x2
9
+
y2
3
=1．
（2）假设直线l存在．设直线l的方程为y=kx+
2
，
联立
y=kx+
2
x2
9
+
y2
3
=1
，得（3k2+1）x2+6
2
kx-3=0，
∵直线l与双曲线c有两个不同交点A和B，
∴△=（6
2
k）2+4×（3k2+1）×3＞0，k∈R．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
6
2
k
3k2+1
，x1x2=-
3
3k2+1
，
y1y2=（kx1+
2
）（kx2+
2
）=k2x1x2+
2
k（x1+x2）+2
=-
3k2
3k2+1
-
12k2
3k2+1
+2
=
2-9k2
3k2+1
．
∵
OA
•
OB
=2，
∴x1x2+y1y2=-
3
3k2+1
+
2-9k2
3k2+1
=
-1-9k2
3k2+1
=2，
整理，得k2=-
1
5
．不成立．
故不存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且
OA
•
OB
=2．
点评：本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，考查直线是否存在的判断．综合性强，难度大，在一定的探索性，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．
（Ⅰ）求证：PF⊥l；
（Ⅱ）若|PF|=
2
，且双曲线的离心率e=
3
，求该双曲线的方程；
（Ⅲ）若过点A（2，1）的直线与（Ⅱ）中的双曲线交于两点P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程．
（2013•宁德模拟）已知双曲线
x2
a2
-
y2
2
=1的一个焦点与抛物线y2=8x的焦点相同，则双曲线的离心率为（　　）
A组：已知双曲线的离心率，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程
（2）过点（0，）倾斜角为45°的直线l与双曲线c恒有两个不同的交点A和B，求|AB|．
B组：已知双曲线的离心率，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程
（2）过点（0，）是否存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且=2，若存在求出直线方程，若不存在请说明理由．
A组：已知双曲线的离心率，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程
（2）过点（0，）倾斜角为45°的直线l与双曲线c恒有两个不同的交点A和B，求|AB|．
B组：已知双曲线的离心率，一条渐近线方程为．
（1）求双曲线C的方程
（2）过点（0，）是否存在一条直线l与双曲线c有两个不同交点A和B且=2，若存在求出直线方程，若不存在请说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网