Question

过直线y=x上一点P引圆x²+y²-6x+7=0的切线，则切线长的最小值为（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  3 2

  2

• C．

  10

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点A到直线的距离最小．根据圆的切线垂直于过切点的直径可得三角形ABC为直角三角形，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离即为|AC|的长，然后根据半径和|AC|的长，利用勾股定理即可求出此时的切线长．

解答：解：圆的方程化为标准方程得（x-3）²+y²=2，
所以圆心A（3，0），半径为

2

，
要使切线长的最小，则必须点A到直线的距离最小．
过圆心A作AC⊥直线y=x，垂足为C，
过C作圆A的切线，切点为B，连接AB，
所以AB⊥BC，此时的切线长CB最短．
∵圆心A到直线y=x的距离|AC|=

|3|

1+1

=

3 2

2

，
根据勾股定理得|CB|=

( 3 2 2 )2-( 2 )2

=

10

2

故选C．

点评：本题的考点是直线与圆的位置关系，考查学生灵活运用点到直线的距离公式化简求值，解题的关键是找出切线长最短时的条件，根据题意画出相应的图形．