题目内容
【题目】已知函数(e为自然对数的底数).
(I)若的单调性;
(II)若,函数
内存在零点,求实数a的取值范围.
【答案】(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ).
【解析】
(I)定义域为,且
,利用导函数讨论可得:当
时,
单调递减;当
时,
在
上单调递减,在
单调递增.
(Ⅱ)由函数的解析式可得,令
,分类讨论
,
和
三种情况可得实数a的取值范围是
.
(I)定义域为
故则
(1)若,则
在
上单调递减;
(2)若,令
.
①当时,则
,因此在
上恒有
,即
在
上单调递减;
②当时,
,因而在
上有
,在
上有
;因此
在
上单调递减,在
单调递增.
综上,(1)当时,
在
上单调递减;
(2)当时,
在
上单调递减,在
单调递增.
(Ⅱ)设,
,设
,
则.
(1)若,
在
单调递减,
故此时函数无零点,
不合题意.
(2)若,
①当时,
,由(1)知
对任意
恒成立
,
故,对任意
恒成立,
②当时,
,
因此当时
必有零点,记第一个零点为
,
当时
,
单调递增,
.
由①②可知,当时,
必存在零点.
(2)当,考察函数
,
由于
在
上必存在零点.设
在
的第一个零点为
,则当
时,
,故
在
上为减函数,
又,
所以当时,
,从而
在
上单调递减,故当
时恒有
.即
,
令,则
在
单调递减,在
单调递增.
即
注意到
,
因此,
令时,则有
,
由零点存在定理可知函数在
上有零点,符合题意.
综上可知,的取值范围是
.
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练习册系列答案
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本科 | 研究生 | 合计 | |
35岁以下 | 50 | 35 | 85 |
35-50岁 | 20 | 13 | 33 |
50岁以上 | 10 | 2 | 12 |
从这130名教职工中随机地抽取一人,求下列事件的概率;
(1)具有本科学历;
(2)35岁及以上;
(3)35岁以下且具有研究生学历.