题目内容

已知函数f（x）定义在区间(-1，1)上，f(
1
2
)=-1，对任意x，y∈（-1，1），恒有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)成立，又数列{an}满足a1=
1
2
，an+1=
2a
1+
a
2
n
．
（I）在（-1，1）内求一个实数t，使得f(t)=2f(
1
2
)；
（II）求证：数列{f（an）}是等比数列，并求f（an）的表达式；
（III）设cn=
n
2
bn+2，bn=
1
f(a1)
+
1
f(a2)
+
1
f(a3)
+…+
1
f(an)
，是否存在m∈N*，使得对任意n∈N*，cn＜
6
7
lo
g
2
2
m-
18
7
log2m恒成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．
分析：（I）由f(t)=2f(
1
2
)=f(
1
2
)+f(
1
2
)=f(
1
2
+
1
2
1+
1
2
×
1
2
)=f(
4
5
)，能求出实数t．
（II）由f(a1)=f(
1
2
)=-1，且f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，知
f(an+1)
f(an)
=2，由此能够证明数列{f（an）}是等比数列，并能求出f（an）的表达式．
（III）由bn=-(1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
)=-
1-
1
2n
1-
1
2
=-2+
1
2n-1
，知cn=
n
2
bn+2=-n+
n
2n
+2，则cn+1-cn=-(n+1)+
n+1
2n+1
+2-[-n+
n
2n
+2]＜0，故{cn}是减数列，由此能够推导出存在m∈N*，使得对任意n∈N*，cn＜
6
7
lo
g
2
2
m-
18
7
log2m恒成立．
解答：解：（I）f(t)=2f(
1
2
)=f(
1
2
)+f(
1
2
)=f(
1
2
+
1
2
1+
1
2
×
1
2
)=f(
4
5
)，
∴t=
4
5
…（2分）
（II）∵f(a1)=f(
1
2
)=-1，
且f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，
∴f(an+1)=f(
2an
1+
a
2
n
)=f(an)+f(an)=2f(an)，

即
f(an+1)
f(an)
=2
∴{f（an）}是以-1为首项，2为公比的等比数列，
∴f(an)=-2n-1．…（6分）
（III）由（II）得，bn=-(1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
)=-
1-
1
2n
1-
1
2
=-2+
1
2n-1
…（8分）
∴cn=
n
2
bn+2=-n+
n
2n
+2，…（9分）
则cn+1-cn=-(n+1)+
n+1
2n+1
+2-[-n+
n
2n
+2]
=
n+1
2n+1
-
n
2n
-1
=
1-n
2n+1
-1＜0，
∴{cn}是减数列，
∴cn≤c1=-1+
1
2
+2=
3
2
，
要使7cn＜6log2 2m-18log2m对任意n∈N*恒成立，
只需6log22m-18log2m＞
21
2
，
即4log 22m-12log2m-7＞0，
故log2m＜-
1
2
，或log2m＞
7
2
，
∴0＜m＜
2
2
，或m＞8
2
≈11.31，
∴当m≥12，且m∈N*时，7cn＜6log2 2m-18log2m对任意n∈N*恒成立，
∴m的最小正整数值为12．
点评：本题考查数列与函数的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)，且当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）验证函数f(x)=ln
1-x
1+x
是否满足这些条件；
（Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．
已知函数f（x）定义在R上，并且对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且x≠y时，f（x）≠f（y），x＞0时，有f（x）＞0．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=1，解关于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2．
（2009•连云港二模）已知函数f（x）定义在正整数集上，且对于任意的正整数x，都有f（x+2）=2f（x+1）-f（x），且f（1）=2，f（3）=6，则f（2009）=
4018
4018
．
已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，f（
1
2
）=-1，且当x，y∈（-1，1）时，恒有f（x）-f（y）=f（
x-y
1-xy
），又数列{an}满足：a1=
1
2
，an+1=
2an
1+
a
2
n
．
（I）证明：f（x）在（-1，1）上为奇函数；
（II）求f（an）关于n的函数解析式；
（III）令g（n）=f（an）且数列{an}满足bn=
1
g(n)
，若对于任意n∈N+，都有b1+b2+…+bn＜t2-3t恒成立，求实数t的取值范围．
已知函数f（x）定义在R上，对任意的x∈R，f(x+1001)=
2
f(x)
+1
，已知f（11）=1，则f（2013）=
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网