Question

已知函数．
（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在[1，e]上的最小值是，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求出的导数，令导数大于0求函数的增区间，导数小于0求函数的减区间．
（Ⅱ）对a进行分类讨论，分别求出各种情况下的函数在[1，e]上的最小值令其为解方程求得a的值
解答：解：函数的定义域为（0，+∞），（1分）
（3分）
（Ⅰ）∵a＜0，∴f'（x）＞0，
故函数在其定义域（0，+∞）上是单调递增的．（5分）
（Ⅱ）在[1，e]上，分如下情况讨论：
1当a＜1时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，其最小值为f（1）=a＜1，这与函数在[1，e]上的最小值是相矛盾；
2当a=1时，函数f（x）在（1，e]单调递增，其最小值为f（1）=1，同样与最小值是相矛盾；（7分）
3当1＜a＜e时，函数f（x）在[1，a）上有f'（x）＜0，单调递减，
在（a，e]上有f'（x）＞0，单调递增，
所以，函数f（x）的最小值为f（a）=lna+1，由，得a=．
4当a=e时，函数f（x）在[1，e）上有f'（x）＜0，单调递减，
其最小值为f（e）=225，还与最小值是相矛盾；
5当a＞e时，显然函数f（x）在[1，e]上单调递减，其最小值为＞2，仍与最小值是相矛盾；（12分）
综上所述，a的值为．（13分）
点评：本题是导数的应用题，应用层数证明单调性，求单调区间，这是导数的一个重要运用．