题目内容
【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
,长轴长为
.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程及离心率;
(Ⅱ)过点的直线
与椭圆
交于
,
两点,若点
满足
,求证:由点
构成的曲线
关于直线
对称.
【答案】(Ⅰ),离心率
;(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)由已知,得a,c=1,所以
,由
,所以b
,即可求出椭圆方程及离心率;(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2),
,分两种情况,借助韦达定理和向量的运算,求出点M构成的曲线L的方程为2x2+3y2﹣2y=0,即可证明。
(Ⅰ)由已知,得,所以
,
又,所以
所以椭圆的标准方程为
,离心率
.
(Ⅱ)设,
,
,
①直线 与
轴垂直时,点
的坐标分别为
,
.
因为,
,
,
所以.
所以,即点
与原点重合;
②当直线与
轴不垂直时,设直线
的方程为
,
由
得,
.
所以.
则,
因为,
,
,
所以.
所以,
.
,
,
消去得
.
综上,点构成的曲线
的方程为
对于曲线的任意一点
,它关于直线
的对称点为
.
把的坐标代入曲线
的方程的左端:
.
所以点也在曲线
上.
所以由点构成的曲线
关于直线
对称.
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