题目内容
已知向量
=(
，
)，向量
=(-1，0)，向量
满足
+
+
=
．
（1）求证：(
-
)⊥
；（2）若
-k
与2
+
共线，求实数k的值．
| a |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
| 0 |
（1）求证：(
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| b |
| c |
分析：（1）要证(
-
)⊥
，只要证明(
-
)•
=0即可
（2）由
+
+
=
，可得
=-(
+
)则2
+
=-
+
．由
-k
与2
+
共线，可得存在实数λ使得
-k
=λ(-
+
)，由向量基本定理可求k
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| c |
（2）由
| a |
| b |
| c |
| 0 |
| c |
| a |
| b |
| b |
| c |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| c |
| a |
| b |
| a |
| b |
解答：（1）证明：∵(
-
)•
=(
-
)•(-
-
)=
2-
2=1-1=0
∴(
-
)•
=0（6分）
（2）解：（2）由条件得
+
+
=
，（8分）
∴
=-
-
∴2
+
=-
+
．（10分）
∵
-k
与2
+
共线，
∴存在实数λ使得
-k
=λ(2
+
)=λ(-
+
)=-λ
+λ
∴(1+λ)
=(k+λ)
∵
•0-
•(-1)≠0，
∴
，
不共线，（12分）
∴由向量共线的基本定理可得
∴k=1（14分）
| a |
| b |
| c |
| a |
| b |
| a |
| b |
| b |
| a |
∴(
| a |
| b |
| c |
（2）解：（2）由条件得
| a |
| b |
| c |
| 0 |
∴
| c |
| a |
| b |
∴2
| b |
| c |
| a |
| b |
∵
| a |
| b |
| b |
| c |
∴存在实数λ使得
| a |
| b |
| b |
| c |
| a |
| b |
| a |
| b |
∴(1+λ)
| a |
| b |
∵
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| a |
| b |
∴由向量共线的基本定理可得
|
∴k=1（14分）
点评：本题主要考察了向量数量积的性质的应用，向量基本定理的应用，属于知识的简单综合应用．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
=(
，k)，
=(k-1，4)，若
∥
，则实数k的值为（ ）
| a |
| 1 |
| 2 |
| b |
| a |
| b |
| A、-1或2 | ||
B、
| ||
C、-
| ||
| D、2 |