Question

设向量

a

=(1+cosα，sinα)，

b

=(1-cosβ，sinβ)，

c

=(1，0)，其中α∈（0，π），β∈（π，2π），

a

与

c

的夹角为θ₁，

b

与

c

的夹角为θ₂，且θ1-θ2=

π

6

，求sin

α-β

2

的值．

Answer 1

分析：由三角函数的公式可得

a

=2cos

α

2

•(cos

α

2

，sin

α

2

)，

b

=2sin

β

2

•(sin

β

2

，cos

β

2

)．可得它们的模长，进而可得θ₁，θ₂的余弦值，结合范围可得

α-β

2

的值，可得正弦值．

解答：解：由题意可得

a

=2cos

α

2

•(cos

α

2

，sin

α

2

)，
同理

b

=2sin

β

2

•(sin

β

2

，cos

β

2

)．
又α∈（0，π），β∈（π，2π），
∴0＜

α

2

＜

π

2

，

π

2

＜

β

2

＜π．
∴|

a

|=2cos

α

2

，|

b

|=2sin

β

2

…4′
∴cosθ1=

a • c

| a |•| c |

=

2cos2 α 2

2cos α 2

=2cos

α

2

，
cosθ2=

b • c

| b |•| c |

=2sin

β

2

=cos(

β

2

-

π

2

)．…8′
∵

α

2

、

β

2

-

π

2

∈(0，

π

2

)，∴θ1=

α

2

，θ2=

β

2

-

π

2

．
∴

π

6

=θ1-θ2=

π

2

+

α-β

2

，即

α-β

2

=-

π

3

，
∴sin(

α-β

2

)=-

1

2

．…12′．

点评：本题考查平面向量的数量积的运算，涉及两个向量夹角的问题，属中档题．