Question

直角坐标系xoy中，已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A₁，A₂，上、下顶点为B₂，B₁，点P（，m）（m＞0）是椭圆C上一点，PO⊥A₂B₂，直线PO分别交A₁B₁、A₂B₂于点M、N．
（1）求椭圆离心率；
（2）若MN=，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，设R点是椭圆C上位于第一象限内的点，F₁、F₂是椭圆C的左、右焦点，RQ平分∠F₁RF₂且与y轴交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点P在椭圆上可把P点坐标用a，b表示出来，由PO⊥A₂B₂，可得•K_OP=-1，由此可得a，b的关系式，连同a²=b²+c²可求得e值；
（2）由MN=可得关于a，b的一方程，再根据（1）中离心率值即可求得a，b值，从而求得椭圆方程；
（3）设R（x，y），Q（0，t），由题意得cos∠F₁RQ=cos∠F₂RQ，利用向量夹角公式可表示成关于y与t的式子，根据y的范围即可求得t的范围；
解答：解：（1）因为点P在椭圆上，所以在方程中令x=，得m=b，故P（，），
∵PO⊥A₂B₂，∴•K_OP=-1，即-×=-1，
∴4b²=3a²=4（a²-c²），∴a²=4c²，∴e=①，
故椭圆的离心率为；
（2）MN==，∴②
联立①②解得，a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为：．
（3）由（2）可得F₁（-1，0），F₂（1，0），
设∠F₁RQ=α，∠F₂RQ=β，则cosα=cosβ，
∴=．
设R（x，y），Q（0，t），
则
化简得：t=-y，
∵0＜y＜，t∈（-，0）．
故点Q纵坐标的取值范围为：（-，0）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆标准方程的求解，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，属难题．