题目内容
直角坐标系xoy中,已知椭圆C:

(1)求椭圆离心率;
(2)若MN=

(3)在(2)的条件下,设R点是椭圆C上位于第一象限内的点,F1、F2是椭圆C的左、右焦点,RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q,求点Q纵坐标的取值范围.

【答案】分析:(1)根据点P在椭圆上可把P点坐标用a,b表示出来,由PO⊥A2B2,可得
•KOP=-1,由此可得a,b的关系式,连同a2=b2+c2可求得e值;
(2)由MN=
可得关于a,b的一方程,再根据(1)中离心率值即可求得a,b值,从而求得椭圆方程;
(3)设R(x,y),Q(0,t),由题意得cos∠F1RQ=cos∠F2RQ,利用向量夹角公式可表示成关于y与t的式子,根据y的范围即可求得t的范围;
解答:解:(1)因为点P在椭圆上,所以在方程中令x=
,得m=
b,故P(
,
),
∵PO⊥A2B2,∴
•KOP=-1,即-
×
=-1,
∴4b2=3a2=4(a2-c2),∴a2=4c2,∴e=
①,
故椭圆的离心率为
;
(2)MN=
=
,∴
②
联立①②解得,a2=4,b2=3,
∴椭圆C的方程为:
.
(3)由(2)可得F1(-1,0),F2(1,0),
设∠F1RQ=α,∠F2RQ=β,则cosα=cosβ,
∴
=
.
设R(x,y),Q(0,t),
则
化简得:t=-
y,
∵0<y<
,t∈(-
,0).
故点Q纵坐标的取值范围为:(-
,0).
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆标准方程的求解,考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,属难题.

(2)由MN=

(3)设R(x,y),Q(0,t),由题意得cos∠F1RQ=cos∠F2RQ,利用向量夹角公式可表示成关于y与t的式子,根据y的范围即可求得t的范围;
解答:解:(1)因为点P在椭圆上,所以在方程中令x=




∵PO⊥A2B2,∴



∴4b2=3a2=4(a2-c2),∴a2=4c2,∴e=

故椭圆的离心率为

(2)MN=



联立①②解得,a2=4,b2=3,
∴椭圆C的方程为:

(3)由(2)可得F1(-1,0),F2(1,0),
设∠F1RQ=α,∠F2RQ=β,则cosα=cosβ,
∴


设R(x,y),Q(0,t),
则

化简得:t=-

∵0<y<


故点Q纵坐标的取值范围为:(-

点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆标准方程的求解,考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,属难题.

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