题目内容

直角坐标系xoy中,已知椭圆C:(a>b>0)的左、右顶点分别是A1,A2,上、下顶点为B2,B1,点P(,m)(m>0)是椭圆C上一点,PO⊥A2B2,直线PO分别交A1B1、A2B2于点M、N.
(1)求椭圆离心率;
(2)若MN=,求椭圆C的方程;
(3)在(2)的条件下,设R点是椭圆C上位于第一象限内的点,F1、F2是椭圆C的左、右焦点,RQ平分∠F1RF2且与y轴交于点Q,求点Q纵坐标的取值范围.

【答案】分析:(1)根据点P在椭圆上可把P点坐标用a,b表示出来,由PO⊥A2B2,可得•KOP=-1,由此可得a,b的关系式,连同a2=b2+c2可求得e值;
(2)由MN=可得关于a,b的一方程,再根据(1)中离心率值即可求得a,b值,从而求得椭圆方程;
(3)设R(x,y),Q(0,t),由题意得cos∠F1RQ=cos∠F2RQ,利用向量夹角公式可表示成关于y与t的式子,根据y的范围即可求得t的范围;
解答:解:(1)因为点P在椭圆上,所以在方程中令x=,得m=b,故P(),
∵PO⊥A2B2,∴•KOP=-1,即-×=-1,
∴4b2=3a2=4(a2-c2),∴a2=4c2,∴e=①,
故椭圆的离心率为
(2)MN==,∴
联立①②解得,a2=4,b2=3,
∴椭圆C的方程为:
(3)由(2)可得F1(-1,0),F2(1,0),
设∠F1RQ=α,∠F2RQ=β,则cosα=cosβ,
=
设R(x,y),Q(0,t),

化简得:t=-y
∵0<y,t∈(-,0).
故点Q纵坐标的取值范围为:(-,0).
点评:本题考查直线与圆锥曲线的位置关系以及椭圆标准方程的求解,考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力,属难题.
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