Question

已知函数f(x)=ln(x+1)-ax+

1-a

x+1

（a＞

1

2

）．
（Ⅰ）当曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线l：y=2x+1垂直时，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．
（III）求证：

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

＜ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

   (n∈N*)．

Answer 1

分析：（I）根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再根据两直线垂直建立等式关系，解之即可；
（II）讨论a与1的大小，然后利用判定导函数f′（x）的符号，从而确定函数f（x）的单调区间，f′（x）＞0与f′（x）＜0确定单调性；
（III）由（II）及（I）知：当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，且[f（x）]_max=f（0）=0，即当x∈（-1，0）∪（0，1）时，恒有ln（x+1）＜x成立，由k∈N*知：

1

k

＞0，-1＜-

1

k+1

＜0，得

1

k+1

＜ln(k+1)-lnk＜

1

k

，累积加即可证得结论．

解答：解：f′(x)=

1

x+1

-a-

1-a

(x+1)2

=

-ax[x-( 1 a -2)]

(x+1)2

，x＞-1，（2分）
（I）由题意可得2f'（1）=-1，即

1-3a

4

=-

1

2

解得a=1，（3分）
（II）由a＞

1

2

知：

1

a

-2=

-2(a- 1 2 )

a

＜0(

1

a

-2)-(-1)=

1-a

a

（5分）
①当

1

2

＜a＜1时，-1＜

1

a

-2＜0，在区间(-1，

1

a

-2)和（0，+∞）上，f′（x）＜0；
在区间(

1

a

-2，0)上，f′（x）＞0．（6分）
故f（x）的单调递减区间是(-1，

1

a

-2)和（0，+∞），单调递增区间是(

1

a

-2，0)．（7分）
②当a≥1时，

1

a

-2≤-1，在区间（-1，0）上f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上f'（x）＜0（8分）
故f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）．（9分）
综上所述：
当

1

2

＜a＜1时，函数f（x）的单调递减区间是(-1，

1

a

-2)和（0，+∞），单调递增区间是(

1

a

-2，0)；
当a≥1时，函数f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞）（10分）
（III）由（II）及（I）知：当a=1时，f（x）=ln（x+1）-x，且[f（x）]_max=f（0）=0
即当x∈（-1，0）∪（0，1）时，恒有ln（x+1）＜x成立
由k∈N*知：

1

k

＞0，-1＜-

1

k+1

＜0
∴ln(

1

k

+1)＜

1

k

   ，   ln (1-

1

k+1

)＜-

1

k+1

；得

1

k+1

＜ln (k+1)-ln k＜

1

k

，
∴

n

k=1

1

k+1

＜

n

k=1

[ln (k+1)-ln k]＜

n

k=1

1

k

，
即

1

2

+

1

3

+

1

4

++

1

n+1

＜ln(n+1)＜1+

1

2

+

1

3

++

1

n

(n∈N*)（14分）

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性和利用单调性证明不等式，是一道综合题，有一定的计算量．