Question

（1）一个正三棱柱的三视图如图1所示，求这个正三棱柱的表面积？
（2）已知一个圆锥的底面半径为R（图2），高为3R，求此圆锥内接圆柱表面积的最大值？

Answer 1

分析：（1）三视图复原的几何体是正三棱柱，利用三视图的数据，求解正三棱柱的表面积即可．
（2）将全面积表示成底面半径的函数，用配方法求二次函数的最大值

解答：解：（1）三视图复原的几何体是正三棱柱，
S=2×

3

4

×(2

3

)2+3×2

3

×2
=18

3

．
（2）设内接圆柱的底面半径为r，高为h，全面积为S，则有

3R-h

3R

=

r

R

∴h=3R-3r
∴S=2πrh+2πr²
=-4πr²+6πRr
=-4π（r²-

3

2

Rr）=-4π（r-

3

4

R）²+

9

4

πR²
∴当r=

3

4

R时，S取的最大值

9

4

πR²．
所求圆柱的最大值为：

9

4

πR²．

点评：本题考查三视图求解几何体的表面积，考查实际问题的最值问题，常转化成函数的最值．