题目内容

1.在曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=tanθ-1}\\{y=\frac{1}{tanθ}}\end{array}\right.$(θ为参数)上求一点P,使它到直线x+2y+3=0的距离最小.

分析 曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=tanθ-1}\\{y=\frac{1}{tanθ}}\end{array}\right.$(θ为参数)化为$y=\frac{1}{x+1}$,设过点P(x0,y0)且与x+2y+3=0平行的直线方程为x+2y+m=0,利用导数的几何意义可得x0,再利用点到直线的距离公式可得.

解答 解:曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=tanθ-1}\\{y=\frac{1}{tanθ}}\end{array}\right.$(θ为参数)化为$y=\frac{1}{x+1}$,
y′=$-\frac{1}{(x+1)^{2}}$.
设过点P(x0,y0)且与x+2y+3=0平行的直线方程为x+2y+m=0,
∴$-\frac{1}{({x}_{0}+1)^{2}}$=$-\frac{1}{2}$,解得x0=-1$±\sqrt{2}$,
取P$(-1-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$,
∴点P到直线x+2y+3=0的距离=$\frac{|-1-\sqrt{2}-\sqrt{2}+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2(\sqrt{10}-\sqrt{5})}{5}$.
∴点P$(-1-\sqrt{2},-\frac{\sqrt{2}}{2})$到直线x+2y+3=0的距离的最小值为$\frac{2(\sqrt{10}-\sqrt{5})}{5}$.

点评 本题考查了导数的几何意义、点到直线的距离公式、切线方程、相互平行的直线的距离,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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