Question

1．在曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=tanθ-1}\\{y=\frac{1}{tanθ}}\end{array}\right.$（θ为参数）上求一点P，使它到直线x+2y+3=0的距离最小．

Answer 1

分析 曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=tanθ-1}\\{y=\frac{1}{tanθ}}\end{array}\right.$（θ为参数）化为$y=\frac{1}{x+1}$，设过点P（x₀，y₀）且与x+2y+3=0平行的直线方程为x+2y+m=0，利用导数的几何意义可得x₀，再利用点到直线的距离公式可得．

解答 解：曲线$\left\{\begin{array}{l}{x=tanθ-1}\\{y=\frac{1}{tanθ}}\end{array}\right.$（θ为参数）化为$y=\frac{1}{x+1}$，
y′=$-\frac{1}{（x+1）^{2}}$．
设过点P（x₀，y₀）且与x+2y+3=0平行的直线方程为x+2y+m=0，
∴$-\frac{1}{（{x}_{0}+1）^{2}}$=$-\frac{1}{2}$，解得x₀=-1$±\sqrt{2}$，
取P$（-1-\sqrt{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$，
∴点P到直线x+2y+3=0的距离=$\frac{|-1-\sqrt{2}-\sqrt{2}+3|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{2（\sqrt{10}-\sqrt{5}）}{5}$．
∴点P$（-1-\sqrt{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}）$到直线x+2y+3=0的距离的最小值为$\frac{2（\sqrt{10}-\sqrt{5}）}{5}$．

点评 本题考查了导数的几何意义、点到直线的距离公式、切线方程、相互平行的直线的距离，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．