Question

某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动，若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元，则农民购买电视机获得的补贴分别为

1

10

a，mln（b+1）万元（m＞0且为常数）．已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机，且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元．
（1）请你选择自变量，将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数，并求其定义域；
（2）求当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大？

Answer 1

分析：（1）先设投放B型电视机的金额的x万元，则投放A型电视机的金额为（10-x）万元，即可得到农民得到的总补贴的函数解析式；
（2）对于（1）中求得的函数，可利用导数研究分段其单调性，从而求得其最大值，最终即可解决当投放B型电视机的金额为多少万元时，农民得到的总补贴最大问题．

解答：解：（1）设投放B型电视机的金额的x万元，则投放A型电视机的金额为（10-x）万元，
农民得到的总补贴f(x)=

1

10

(10-x)+mln(x+1)=mln(x+1)-

x

10

+1，1≤x≤9
（2）f′(x)=

m

x+1

-

1

10

=

10m-(x+1)

10(x+1)

=

-[x-(10m-1)]

10(x+1)

，令y′=0得x=10m-1
1°若10m-1≤1即0＜m≤

1

5

，则f（x）在[1，9]为减函数，当x=1时，f（x）有最大值；
2°若1＜10m-1＜9即

1

5

＜m＜1，则f（x）在[1，10m-1]是增函数在[10m-1，9]是减函数，当x=10m-1时，f（x）有最大值；
3°若10m-1≥9即m≥1，则f（x）在[1，9]是增函数，当x=9时，f（x）有最大值．
因此，当0＜m≤

1

5

时，投放B型电视机1万元；当

1

5

＜m＜1时，投放B型电视机（10m-1）万元，当m≥1时，投放B型电视机9万元．农民得到的总补贴最大．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、利用导数研究函数的单调性及函数的最值，考查运算求解能力，分类讨论思想、化归与转化思想．属于基础题．