题目内容

如图,在平面直角坐标系xoy中,角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点,它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B,始边不动,终边在运动.
(1)若点B的横坐标为-
4
5
,求tanα的值;
(2)若△AOB为等边三角形,写出与角α终边相同的角β的集合;
(3)若α∈[0,
3
]
,请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式,并指出函数的值域.
分析:(1)由题意可得B(-
4
5
3
5
),根据三角函数的定义得;
(2)同理可得B的坐标,注意两种情况,然后由三角函数的定义可得;
(3)把弓形转化为扇形和三角形的面积之差,由导数可得函数的单调性,进而可得值域.
解答:解:(1)由题意可得B(-
4
5
3
5
),根据三角函数的定义得:tanα=
y
x
=-
3
4

(2)若△AOB为等边三角形,则B(
1
2
3
2
)或(
1
2
-
3
2

可得tan∠AOB=
y
x
=
3
-
3
,故∠AOB=
π
3
,或-
π
3

故与角α终边相同的角β的集合为:{β|β=
π
3
+2kπ
,k∈Z}∪{β|β=-
π
3
+2kπ
,k∈Z};
(3)若α∈[0,
3
]
,则S扇形=
1
2
αr2=
1
2
α
,而S△AOB=
1
2
×1×1×sinα=
1
2
sinα,
故弓形的面积S=S扇形-S△AOB=
1
2
α
-
1
2
sinα,α∈[0,
3
]

求导数可得S′=
1
2
-
1
2
cosα
=
1
2
(1-cosα)>0,故S在区间[0,
3
]
上单调递增,
S(0)=0,S(
3
)=
π
3
-
3
4

故函数的值域为:[0,
π
3
-
3
4
]
点评:本题考查三角函数的定义和扇形的面积公式,属基础题.
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