Question

已知函数f(x)=

lnx

x

．
（I）判断函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若y=xf（x）+

1

x

的图象总在直线y=a的上方，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若函数f（x）与g(x)=

1

6

x-

m

x

+

2

3

的图象有公共点，且在公共点处的切线相同，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）先对函数f(x)=

lnx

x

进行求导运算，根据导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减，可求得单调区间．
（2）将将函数f（x）的解析式代入，可将问题转化为不等式a＜lnx+

1

x

对于x＞0恒成立，然后g（x）=lnx+

1

x

后进行求导，根据导函数的正负情况判断函数的单调性进而可得到函数g（x）的最小值，从而得到答案．
（3）将函数f（x）与g(x)=

1

6

x-

m

x

+

2

3

的图象有公共点转化为lnx=

1

6

x2+

2

3

x-m有解，再由y=lnx与y=

1

6

x2+

2

3

x-m在公共点（x₀，y₀）处的切线相同可得到

lnx0= 1 6 x 2 0 + 2 3 x0-m 1 x0 = 1 3 x0+ 2 3

同时成立，进而可求出x₀的值，从而得到m的值．

解答：解：（Ⅰ）可得f′(x)=

1-lnx

x2

．
当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当e＜x时，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
（Ⅱ）依题意，转化为不等式a＜lnx+

1

x

对于x＞0恒成立
令g（x）=lnx+

1

x

，则g'（x）=

1

x

-

1

x2

=

1

x

(1-

1

x

)
当x＞1时，因为g'（x）=

1

x

(1-

1

x

)＞0，g（x）是（1，+∞）上的增函数，
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，g（x）是（0，1）上的减函数，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
从而a的取值范围是（-∞，1）．
（Ⅲ）转化为lnx=

1

6

x2+

2

3

x-m，y=lnx与y=

1

6

x2+

2

3

x-m在公共点（x₀，y₀）处的切线相同
由题意知

lnx0= 1 6 x 2 0 + 2 3 x0-m 1 x0 = 1 3 x0+ 2 3

∴解得：x₀=1，或x₀=-3（舍去），代入第一式，即有m=

5

6

．

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，导函数小于0时原函数单调递减．