题目内容
【题目】已知
为椭圆
的右焦点，点
在
上，且
轴．
（1）求的方程
（2）过的直线
交于
两点，交直线
于点
．证明：直线
的斜率成等差数列．
【答案】（1）
；（2）证明见解析.
【解析】
（1）运用椭圆的定义和勾股定理，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）由题意可设直线AB的方程为y=k（x-2），求得M的坐标，联立椭圆方程，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，结合等差数列的中项性质，化简整理，即可得证．
解：（1） 因为点
在
上，且
轴，所以
，
设椭圆左焦点为
，则
，
，
中，
，所以
．
所以
，
，
又
，
故椭圆的方程为；
（2）证明：由题意可设直线
的方程为
，
令
得，
的坐标为
，
由
得，
，
设
，
，
，
，
则有
，
①．
记直线
，
，
的斜率分别为
，
，
，
从而
，
，
．
因为直线的方程为，所以
，
，
所以
②．
①代入②得
，
又
，所以
，
故直线，，的斜率成等差数列．
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