题目内容
【题目】已知为椭圆
的右焦点,点
在
上,且
轴.
(1)求的方程
(2)过的直线
交
于
两点,交直线
于点
.证明:直线
的斜率成等差数列.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)运用椭圆的定义和勾股定理,可得a,b,进而得到椭圆方程;
(2)由题意可设直线AB的方程为y=k(x-2),求得M的坐标,联立椭圆方程,运用韦达定理,以及直线的斜率公式,结合等差数列的中项性质,化简整理,即可得证.
解:(1) 因为点在
上,且
轴,所以
,
设椭圆左焦点为
,则
,
,
中,
,所以
.
所以,
,
又,
故椭圆的方程为
;
(2)证明:由题意可设直线的方程为
,
令得,
的坐标为
,
由得,
,
设,
,
,
,
则有,
①.
记直线,
,
的斜率分别为
,
,
,
从而,
,
.
因为直线的方程为
,所以
,
,
所以
②.
①代入②得,
又,所以
,
故直线,
,
的斜率成等差数列.
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