题目内容
【题目】已知,
。
(1)当时,求f(x)的最大值。
(2)若函数f(x)的零点个数为2个,求的取值范围。
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)求出,再求出
,利用
的正负判断
的单调性,从而判断
的正负,从而判断
的单调性,进而求得函数
的最值。
(2)求出,再求出
,求得函数
单调性,对参数
的范围分类讨论,求得函数的最值,结合函数
的单调性,从而判断函数
的零点个数。
解:(1)当时,
.因为
时,
所以在
上为减函数.(
递减说明言之有理即可)
又,所以当
时,
,函数
单调递增;
当时,
,函数
单调递减;故
.
(2),
,
当,且
时,
.
所以在
上为减函数
时,
,
时,
,故存在
使得
,且有
在
上递增,
在递减,
.
①当时由(1)知只有唯一零点
②当时,
即有
,
此时有2个零点
③当时,
,
又有,故
.
令,
,故
在定义域内单调递增.
而,故
,于是
,所以
时不存在零点.
综上:函数的零点个数为2个,
的取值范围为
.
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