Question

设f(x)＝lnx－(x≥1)，g(x)＝2(x－1)－(x²＋1)lnx(x≥1)．

(1)求证f(x)和g(x)在[1，＋∞)上均为减函数；

(2)设b＞1，证明不等式．

Answer 1

答案：
解析：

解：证明(1)f(x)＝lnx－(x≥1)， 　　 　　≤0． 　　∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数． 　　g(x)＝2(x－1)－(x2＋1)lnx 　　(x)＝2－[2xlnx＋(x2＋1)·]＝－2xlnx－ 　　＝－[2xlnx＋]． 　　当x≥1时，2xlnx≥0，＞0，故(x)＜0 　　所以g(x)在[1，＋∞)上也为减函数． 　　(2)∵b＞1，又∵f(x)在[1，＋∞)上为减函数， 　　∴f(b)＜f(1)即lnb－＜0， 　　∴．① 　　同理，可得g(b)＜g(1)，即2(b－1)－(b2＋1)lnb＜0， 　　∴＞　② 　　由①②可得＜＜．