题目内容

若任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有成立，则称f（x）是[a，b]上的凸函数，则下列函数中，是凸函数的为（ ）
A．y=sinx，
B．y=2-x2，x∈[0，2]
C．y=x2-x，x∈[-2，1]
D．y=x2，x∈[0，2]
【答案】分析：题中的代数式的几何意义是：函数在区间[a，b]上的图象是上凸的．因此根据这个几何意义，分别结合各个选项的相应区间上的图象加以判断，不难选出正确答案．
解答：解：f（x）是[a，b]上的凸函数，它的几何意义是
函数在区间[a，b]上的图象是上凸的
由此判断，y=sinx，上的图象是下凹的，不符合题意，故A不正确；
y=2-x2，x∈[0，2]上的图象是开口向下的抛物线，符合上凸，故B正确；
y=x2-x，x∈[-2，1]上的图象是开口向上的抛物线，不符合题意，故C不正确；
y=x2，x∈[0，2]上的图象是开口向上的抛物线，不符合题意，故D不正确；
故选B
点评：本题考查了函数的凹凸性及其几何意义，属于中档题．解题的关键是读懂题中的式子，将其转化为几何图象．
练习册系列答案
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若任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＜
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，则称f（x）是[a，b]上的凹函数．下列函数为凹函数的是（　　）
对于函数f（x），其定义域为D，若任取x1、x2∈D，且x1≠x2，若f（
x1+x2
2
）＞
1
2
[f（x1）+f（x2）]，则称f（x）为定义域上的凸函数．
（1）设f（x）=ax2（a＞0），试判断f（x）是否为其定义域上的凸函数，并说明原因；
（2）若函数f（x）=㏒ax（a＞0，且a≠1）为其定义域上的凸函数，试求出实数a的取值范围．
若任取x1、x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有f（
x1+x2
2
）＞
f(x1)+f(x2)
2
成立，则称f（x） 是[a，b]上的凸函数．试问：在下列图象中，是凸函数图象的为（　　）
若任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有f(
x1+x2
2
)＞
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，则称f（x）是[a，b]上的凸函数，则下列函数中，是凸函数的为（　　）

若任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，都有成立，则称f(x)

[a，b]上的凸函数。试问：在下列图像中，是凸函数图像的为

 

 

A                 B                   C                  D

 

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