Question

设F₁、F₂分别为椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点.

（1）若椭圆C上的点A（1，）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；

（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程；

Answer 1

(1) 椭圆C的方程为=1，焦点F₁（－1，0），F₂（1，0）;

(2) 为所求的轨迹方程.

解析:

（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，   

          得2a=4，即a=2.

又点A（1，）在椭圆上，因此=1得b²=3，于是c²=1.

所以椭圆C的方程为=1,焦点F₁（－1，0），F₂（1，0）

（2）设椭圆C上的动点为K（x₁，y₁），线段F₁K的中点Q（x，y）满足：

， 即x₁=2x+1，y₁=2y.

因此=1.即为所求的轨迹方程.