Question

已知函数f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）•f（a-x）=b恒成立，则称f（x）为“S-函数”．
（1）判断函数f₁（x）=x，f₂（x）=3^x是否是“S-函数”；
（2）若f₃（x）=tanx是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对（a，b）；
（3）若定义域为R的函数f（x）是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），当x∈[0，1]时，f（x）的值域为[1，2]，求当x∈[-2012，2012]时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）假设是S-函数，列出方程恒成立，通过判断方程的解的个数判断出f₁（x）不是，对于f₂（x）对于列出方程恒成立．
（2）据题中的定义，列出方程恒成立，通过两角和差的正切公式展开整理，令含未知数的系数为0，求出a，b．
（3）利用题中的新定义，列出两个等式恒成立；将x用2+x代替，两等式结合得到函数值的递推关系；用不完全归纳的方法求出值域．

解答：解：（1）若f₁（x）=x是“S-函数”，则存在常数（a，b），使得（a+x）（a-x）=b．
即x²=a²-b时，对x∈R恒成立．而x²=a²-b最多有两个解，矛盾，
因此f₁（x）=x不是“S-函数”．（3分）
若f₂（x）=3^x是“S-函数”，则存在常数a，b使得3^a+x•3^a-x=3^2a，
即存在常数对（a，3^2a）满足．
因此f₂（x）=3^x是“S-函数”（6分）
（2）f₃（x）=tanx是一个“S-函数”，设有序实数对（a，b）满足：
则tan（a-x）tan（a+x）=b恒成立．
当a=kπ+

π

2

，k∈Z时，tan（a-x）tan（a+x）=-cot²（x），不是常数．（7分）
因此a≠kπ+

π

2

， k∈Z，x≠mπ+

π

2

， m∈Z，
则有

tana-tanx

1+tana•tanx

×

tana+tanx

1-tana•tanx

=

tan2a-tan2x

1-tan2atan2x

=b．
即（b•tan²a-1）tan²x+（tan²a-b）=0恒成立．（9分）
即

b•tan2a-1=0 tan2a-b=0

?

tan2a=1 b=1

?

a=kπ± π 4 b=1

，k∈Z，
当x=mπ+

π

2

，  m∈Z，a=kπ±

π

4

时，tan（a-x）tan（a+x）=cot²（a）=1．
因此满足f₃（x）=tanx是一个“S-函数”的常数（a，b）=(kπ±

π

4

，1)， k∈Z．（12分）
（3）函数f（x）是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对（0，1）和（1，4），
于是f（x）•f（-x）=1，f（1+x）•f（1-x）=4，
即f（1+x）•f（1-x）=4?f（x）f（2-x）=4，x∈[1，2]时，2-x∈[0，1]，f(x)=

4

f(2-x)

∈[2， 4]，
∴x∈[0，2]时，f（x）∈[1，4]．（14分）

f(x)•f(-x)=1 f(1+x)•f(1-x)=4

?

f(-x)= 1 f(x) f(-x)= 4 f(2+x)

?f(2+x)=4f(x)．（16分）

x∈[2，4] 时，f(x)∈[4， 16]，x∈[4， 6] 时，f(x)∈[16， 26]， 依此类推可知 x∈[2k， 2k+2] 时，f(x)∈[22k， 22k+2]， x∈[2010， 2012] 时，f(x)∈[22010， 22012].

因此x∈[0，2012]时，f（x）∈[1，2²⁰¹²]，（17分）x∈[-2012， 0] 时，f(x)=

1

f(-x)

，-x∈[0， 2012]，f(-x)∈[1， 22012]?f(x)∈[2-2012， 1]．
综上可知当x∈[-2012，2012]时函数f（x）的值域为[2^-2012，2²⁰¹²]．（18分）

点评：本题考查理解题中的新定义、判断函数是否具有特殊函数的条件、利用新定义得到恒等式、通过仿写的方法得到函数的递推关系、考查利用归纳的方法得结论．