Question

已知椭圆上任一点P，由点P向x轴作垂线段PQ，垂足为Q，点M在PQ上，且，点M的轨迹为C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点D（0，－2）作直线l与曲线C交于A、B两点，设N是过点且平行于轴的直线上一动点，满足（O为原点），问是否存在这样的直线l，使得四边形OANB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在说明理由.

Answer 1

解：（1）设M（x，y）是曲线C上任一点，因为PM⊥x轴，，所以点P的坐标为（x，3y）  

    点P在椭圆上，所以，因此曲线C的方程是

（2）当直线l的斜率不存在时，显然不满足条件

    所以设直线l的方程为y=kx－2与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N点所在直线方程为

    ，

    由，

    因为，所以四边形OANB为平行四边形，

    假设存在矩形OANB，则

    即，

    所以，

    设N（x₀，y₀），由，得

    ，即N点在直线，

    所以存在四边形OANB为矩形，直线l的方程为