题目内容

如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ $数学公式$ ）在一个周期内的图象，M，N分别是其最高点、最低点，MC⊥x轴，且矩形MBNC的面积为4π．
（1）求函数f（x）=Asin（ωx+φ）的一个解析式；
（2）求函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间；
（3）试说明怎样由y=sinx的图象经过变换得到函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象．

解：（1）设函数的周期为T，则由题意可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴T=π= $\text{[math]}$ ，ω=2．
再矩形MBNC的面积为4π可得 2A• $\text{[math]}$ =4π 可得A=4．
再由五点法作图可得 2× $\text{[math]}$ +φ= $\text{[math]}$ ，∴φ= $\text{[math]}$ ．
故函数f（x）=Asin（ωx+φ）的一个解析式为 f（x）=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
（2）令 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，故函数的减区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
（3）把y=sinx的图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位，再把图象上各个点的横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ 倍，纵坐标不变；
再把所得的图象上各个点的纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变，即得函数f（x）=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）的图象．
分析：（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．
（2）令 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．
（3）根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，的出结论．
点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调减区间，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，属于中档题．