题目内容

设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是边长为ai，ai+1的矩形的面积（i=1，2，…），则{An}为等比数列的充要条件是（　　）
A、{an}是等比数列B、a1，a3，…，a2n-1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列C、a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列D、a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同
分析：根据题意可表示Ai，先看必要性，{An}为等比数列推断出
ai+2
ai
为常数，可推断出a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同；再看充分性，要使题设成立，需要
ai+2
ai
为常数，即a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等，答案可得．
解答：解：依题意可知Ai=ai•ai+1，
∴Ai+1=ai+1•ai+2，
若{An}为等比数列则
Ai+1
Ai
=
ai+2
ai
=q（q为常数），则a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比均为q；
反之要想{An}为等比数列则
Ai+1
Ai
=
ai+2
ai
需为常数，即需要a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相等；
故{An}为等比数列的充要条件是a1，a3，…，a2n-1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且公比相同．
故选D
点评：本题主要考查了等比数列的性质，充分条件，必要条件和充分必要条件的判定．考查了学生分析问题和基本的推理能力．
练习册系列答案
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设{an}是各项均为正数的无穷项等差数列．（本题中必要时可使用公式：12+22+33+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6
）
（Ⅰ）记Sn=a1+a2+…+an，Tn=a12+a22+…+an2，已知Sn≤n2+n-1，Tn≥
4n3-n
3
（n∈N*），试求此等差数列的首项a1及公差d；
（Ⅱ）若{an}的首项a1及公差d都是正整数，问在数列{an}中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列{a′m}？若存在，请写出{a′m}的构造过程；若不存在，说明理由．
设集合W由满足下列两个条件的数列{an}构成：①
an+an+2
2
＜an+1；②存在实数M，使an≤M．（n为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列{an}、{bn}中，其中a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5；b1=1，b2=4，b3=5，b4=4，b5=1；试判断数列{an}、{bn}是否为集合W中的元素；
（Ⅱ）设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前n项和，c3=
1
4
，S3=
7
4
，试证明{Sn}∈W，并写出M的取值范围；
（Ⅲ）设数列{dn}∈W，对于满足条件的M的最小值M0，都有dn≠M0（n∈N*）．求证：数列{dn}单调递增．
（2012•上海二模）如果无穷数列{an}满足下列条件：①
an+an+2
2
≤an+1；②存在实数M，使an≤M．其中n∈N*，那么我们称数列{an}为Ω数列．
（1）设数列{bn}的通项为bn=5n-2n，且是Ω数列，求M的取值范围；
（2）设{cn}是各项为正数的等比数列，Sn是其前项和，c3=
1
4
，S3=
7
4
证明：数列{Sn}是Ω数列；
（3）设数列{dn}是各项均为正整数的Ω数列，求证：dn≤dn+1．
在xoy平面上有一系列点P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…，对每个正整数n，以点Pn为圆心的⊙Pn与x轴及射线y=
3
x，（x≥0）都相切，且⊙Pn与⊙Pn+1彼此外切．若x1=1，且xn+1＜xn（n∈N*）．
（1）求证：数列{xn}是等比数列，并求数列{xn}的通项公式；
（2）设数列{an}的各项为正，且满足an≤
xnan-1
xn+an-1
，a1=1，
求证：a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn＜
5
4
-
1
3n-1
，（n≥2）
（3）对于（2）中的数列{an}，当n＞1时，求证：(1-an)2[
a
2
2
(1-
a
2
2
)2
+
a
3
3
(1-
a
3
3
)2
+…+
a
n
n
(1-
a
n
n
)2
]＞
4
5
-
1
1+an+
a
2
n
+…+
a
n
n
．
设{an} 是各项均为正整数的等差数列，项数为奇数，公差不为0，且各项之和等于2010，则该数列的第8项a8 的值等于
134
134
．

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