题目内容
已知函数f(x)=
-
,常数a>0.
(1)设m•n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增;
(2)设0<m<n且f(x)的定义域和值域都是[m,n],求n-m的最大值.
2 a+1 |
a |
1 |
a2x |
(1)设m•n>0,证明:函数f(x)在[m,n]上单调递增;
(2)设0<m<n且f(x)的定义域和值域都是[m,n],求n-m的最大值.
(1)任取x1,x2∈[m,n],且x1<x2,f(x1)-f(x2)=
•
,
因为x1<x2,x1,x2∈[m,n],所以x1x2>0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在[m,n]上单调递增.
(2)因为f(x)在[m,n]上单调递增,f(x)的定义域、值域都是[m,n]?f(m)=m,f(n)=n,
即m,n是方程
-
=x的两个不等的正根?a2x2-(2a2+a)x+1=0有两个不等的正根.
所以△=(2a2+a)2-4a2>0,
>0?a>
.
∴n-m=
=
, a∈(
, +∞ ),
∴a=
时,n-m取最大值
.
1 |
a2 |
x1-x2 |
x1x2 |
因为x1<x2,x1,x2∈[m,n],所以x1x2>0,即f(x1)<f(x2),故f(x)在[m,n]上单调递增.
(2)因为f(x)在[m,n]上单调递增,f(x)的定义域、值域都是[m,n]?f(m)=m,f(n)=n,
即m,n是方程
2a+1 |
a |
1 |
a2x |
所以△=(2a2+a)2-4a2>0,
2a2+a |
4a2 |
1 |
2 |
∴n-m=
1 |
a |
4 a2+4 a-3 |
-3 (
|
1 |
2 |
∴a=
3 |
2 |
4
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3 |
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是定义域上的递减函数,则实数a的取值范围是( )
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