Question

已知,函数.

（1）当时，画出函数的大致图像；

（2）当时，根据图像写出函数的单调减区间，并用定义证明你的结论；

（3）试讨论关于x的方程解的个数.

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）当a=2时， ，作出图象；

（2）由（1）写出函数y=f（x）的单调递增区间，再根据单调性定义证明即可；

（3）由题意知方程的解得个数等价于函数的图像与直线的交点个数.即函数的图象与直线的交点个数.

试题解析：（1）如图所示

3分

（2）单调递减区间： 4分

证明：设任意的

5分

因为，所以

于是，即6分

所以函数在上是单调递减函数 7分

(3) 由题意知方程的解得个数等价于函数的图像与直线的交点个数.即函数的图象与直线的交点个数

又，注意到，

当且仅当时，上式等号成立，借助图像知 8分

所以，当时，函数的图像与直线有1个交点； 9分

当，时，函数的图像与直线有2个交点； 10分

当，时，函数的图像与直线有3个交点；12分.

考点：1.绝对值的函数；2.函数的值域;3.函数的零点.