题目内容

设各项为正的数列{an}，其前n项和为Sn，并且对所有正整数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项．
（1）写出数列{an}的前二项；     
（2）求数列{an}的通项公式（写出推证过程）；
（3）令bn=an•（3n-1），求bn的前n项和Tn．
（1）由题意可得
an+2
2
=
2Sn

∴
a1+2
2
=
2a1
解得a1=2，
∴
a2+2
2
=
2(a1+a2) 
解得a2=6
（2）由
an+2
2
=
2Sn
得Sn=
(an+2)2
8

当n≥2时，an=Sn-Sn-1
即可得到（an+an-1）（an-an-1-4）=0
∵各项为正的数列{an}，
∴an-an-1=4
因此数列{an}是以2为首项，4为公差的等差数列，故an=4n-2
（3）由bn=an（3n-1-1），得bn=（4n-2）（3n-1）=（4n-2）3n-（4n-2）
记cn=（4n-2）3n，其n项和为Un，则由错位相减法得Un=3（1-3n）+（2n-1）3n+1+3=（2n-2）3n+1+6
∴Tn=(2n-2)3n+1+6-
n(2+4n-2)
2
=(2n-2)3n+1+6-2n2．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）=lnx-ax2-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤2n-1．
已知函数f（x）=lnx-ax+1（x＞0）
（1）若对任意的x∈[1，+∞），f（x）≤0恒成立，求实数a的最小值．
（2）若a=
5
2
且关于x的方程f（x）=-
1
2
x2+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围；
（3）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*．求证：an≤2n-1．
已知函数f（x）=
lnx+ax
（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间（0，e2]上有公共点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤2n-1．
已知f（x）=lnx-ax2-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤2n-1．
已知f（x）=lnx-ax2-bx（a≠0），
（1）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围．
（2）在（1）的结论下，设g（x）=e2x+bex，x∈[0，ln2]，求函数g（x）的最小值；
（3）设各项为正的数列{an}满足：a1=1，an+1=lnan+an+2，n∈N*，求证：an≤2n-1．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网