题目内容

设0＜a＜1， $数学公式$ ，
（Ⅰ）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；
（Ⅱ）解关于x的不等式：f（a^x）+f（-2）＞f（2）+f（-a^x）
（Ⅲ）（理）当n∈N时，比较f（n）与n的大小．
（文）若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数，求a的取值范围．

解：（Ⅰ）令t=log_ax，则x=a^t，∴ $\text{[math]}$ ，∴f（x）= $\text{[math]}$ ），x∈R．
∵f（-x）=f（x），∴奇函数．∵0＜a＜1，∴函数为增函数
（Ⅱ）∵f（a^x）-f（2）＞f（2）-f（a^x）
∴f（a^x）＞f（2），a^x＞2，
∵0＜a＜1，∴x＜log_a2
（Ⅲ）（理料）f（1）=1，
当n≥2时，f（n）= $\text{[math]}$ …a^2n-1，）
= $\text{[math]}$ +…+（a^2n-1+a）]＞ $\text{[math]}$
或用数学归纳法证明：f（k+1）=af（k）+a^-k＞ak+ak^-k∵0＜a＜1，
∴可令 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
（文科）∵ $\text{[math]}$
分析：（Ⅰ）令t=log_ax，则x=a^t，∴ $\text{[math]}$ ，从而可得函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）问题等价于f（a^x）＞f（2），从而a^x＞2，由于0＜a＜1，∴x＜log_a2；
（Ⅲ）将问题转化为f（n）= $\text{[math]}$ +…+（a^2n-1+a）]，再利用基本不等式可知 $\text{[math]}$ ，从而有f（n）≥n；若f（x）-4的值仅在x＜2时取负数等价于f（x）＜4时x＜2恒成立，从而可解．
点评：本题主要考查函数解析式的求解及函数性质的判断，同时考查利用基本不等式进行大小比较，有一定的综合性．