Question

已知三次函数f（x）的导函数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，（a、b实数）．若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2，1，且1＜a＜2，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：据导函数的形式设出f（x），求出导函数为0的两个根，判断出根与定义域的关系，求出函数的最值，列出方程求出f（x）的解析式．

解答：解：∵f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b，
∴f（x）=x3-

3

2

ax2+b，
由f′（x）=3x（x-a）=0，得x₁=0，x₂=a，
∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0），
∵f（0）=b，∴b=1，
∵f（1）=1-

3

2

a+1=2-

3

2

a，f（-1）=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a，
∴f（-1）＜f（1），
∴f（-1）是函数f（x）的最小值，
∴-

3

2

a=-2，∴a=

4

3

，
∴f（x）=x³-2x²+1．

点评：本题考查利用导数研究函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．解决本题的关键是利用导数求得函数最值，然后利用条件列出方程．