Question

设A，B分别为椭圆（a＞0，b＞0）的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且x=4为它的右准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点P为椭圆上不同于A，B的一个动点，直线PA，PB与椭圆右准线相交于M，N两点，在x轴上是否存在点Q，使得，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）由题意，知a=2c，=4，解得a=2，c=1，∴b=，故椭圆方程为…（5分）
（2）设P（2cosθ，sinθ），M（4，m），N（4，n），则A（-2，0），B（2，0），
由A、P、M三点共线，得m=…（7分）
由B、P、N三点共线，得n=，…（9分）
设Q（t，0），则由得
（t-4）（t-4）+（0-）（0-）=0，
整理得：（t-4）²-9=0 解得t=1或t=7
∴Q点的坐标是（7，0）或（1，0）．…（12分）
分析：（1）由题意，知a=2c，=4，求出a，b 即得出椭圆的方程
（2）设P（2cosθ，sinθ），M（4，m），N（4，n），设Q（t，0）利用向量坐标表示及数量积运算，由，列出关于t的方程，判断出解得情况，解得答案．
点评：本题考椭圆的方程求解，向量的运算，及探索性问题，用到了方程思想．