题目内容

在△ABC中，若sin2A=sinB•sinC且（b+c+a）（b+c-a）=3bc，则该三角形的形状是（　　）
A、直角三角形B、钝角三角形C、等腰三角形D、等边三角形
分析：根据条件应用正弦定理、余弦定理可得cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
，故A=60°，B+C=120°，cos（B-C）=1，从而得到
B=C=60°，故三角形是等边三角形．
解答：解：若sin2A=sinB•sinC，则a2=bc．  
又 （b+c+a）（b+c-a）=3bc，∴b2+c2-a2=bc，
又 cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
，
∴A=60°，B+C=120°．
再由sin2A=sinB•sinC，可得
3
4
=
1
2
[cos（B-C）-cos（B+C）]=
1
2
cos（B-C）+
1
4
，
∴cos（B-C ）=1．  又-π＜B-C＜π，∴B-C=0，∴B=C=60°，故该三角形的形状是等边三角形，
故选D．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，根据三角函数的值求角，求得A=60°，及cos（B-C ）=1，是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
给出命题：
①函数y=2sinx-cosx的值域是[-2，1]；
②函数y=sinπxcosπx是周期为2的奇函数；
③x=-
3
4
π是函数y=sin(x+
π
4
)的一条对称轴；
④若sin2α＜0，cosα-sinα＜0，则α一定为第二象限角；
⑤在△ABC中，若A＞B则sinA＞sinB．
其中正确命题的序号为
 
．
下列结论：
①已知命题p：?x∈R，tanx=1；命题q：?x∈R，x2-x+1＞0．则命题“p∧?q”是假命题；
②函数y=
|x|
x2+1
的最小值为
1
2
且它的图象关于y轴对称；
③“a＞b”是“2a＞2b”的充分不必要条件；
④在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC中是直角三角形．
⑤若tanθ=2，则sin2θ=
4
5
；
其中正确命题的序号为
①④⑤
①④⑤
．（把你认为正确的命题序号填在横线处）
已知下列四个命题：
①若tanθ=2，则sin2θ=
4
5
；
②函数f(x)=lg(x+
1+x2
)是奇函数；
③“a＞b”是“2a＞2b”的充分不必要条件；
④在△ABC中，若sinAcosB=sinC，则△ABC中是直角三角形．
其中所有真命题的序号是
①②④
①②④
．
在△ABC中，4sinB•sin2（
π
4
+
π
2
）+cos2B=1+
3
．
（1）求角B的大小；（2）若a=4，cosC=sinB，求△ABC的面积．
已知函数f（x）=sin2（
x
2
+
π
12
）+
3
sin（
x
2
+
π
12
）cos（
x
2
+
π
12
）一
1
2
．
（1）在△ABC中，若sinC=2sinA，B为锐角且有f（B）=
3
2
，求角A，B，C；
（2）若f（x）（x＞0）的图象与直线y=
1
2
交点的横坐标由小到大依次是x1，x2，…，xn，求数列{xn}的前2n项和，n∈N*．

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