Question

给出下列命题：
①命题“若x≠1且y≠2，则（x-1）²+（y-2）²≠0”为真命题；
②函数f（x）=lnx+x-

3

2

在区间（1，2）上有且仅有一个零点；
③不等式

x-1

(x-2)≥0的解集为[2，+∞]；
④函数y=x+

1

x-1

(x≥3)的最小值为3
其中正确的序号是

①②

（把你认为正确命题的序号都填上）

Answer 1

分析：设P（x，y）为平面直角坐标系内点，当x≠1，且y≠2时，P点不取（1，2），则P点到（1，2）距离的平方就不可能为零；f（1）•f（2）＜0，f（x）在（1，2）上连续且单调递增，故有且只有一个零点；由于

x-1

≥，故不等式可化为

x-1

=0或

x-1 ＞0 x-2＞0

或

x-1＞0 x-2=0

，解得x∈{1}∪[2，+∞）；由x≥3，知x-1＞0，故y=(x-1)+

1

x-1

+1≥2

(x-1)× 1 x-1 +1

=3，故此函数无法取到最小值3．

解答：解：①设P（x，y）为平面直角坐标系内点，
当x≠1，且y≠2时，P点不取（1，2），则P点到（1，2）距离的平方就不可能为零，故①为真命题；
②f（1）•f（2）＜0，f（x）在（1，2）上连续且单调递增，
故有且只有一个零点，故②为真命题；
③由于

x-1

≥0，故不等式可化为

x-1

=0或

x-1 ＞0 x-2＞0

或

x-1＞0 x-2=0

，
解得x∈{1}∪[2，+∞），故③不正确；
∵x≥3，∴x-1＞0，
则y=(x-1)+

1

x-1

+1≥2

(x-1)× 1 x-1 +1

=3，
当且仅当x=2时，等号成立，故此函数无法取到最小值3，故④不正确．
故答案为：①②．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．