题目内容

(2012•河南模拟)已知点F1、F2分别是椭圆
x
2
 
a
2
 
+
y
2
 
b
2
 
=1(a>b>0)
的左、右焦点,A、B是以O(O为坐标原点)为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB是正三角形,则此椭圆的离心率为(  )
分析:根据A、B是以O(O为坐标原点)为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,且△F2AB是正三角形,确定|F1A|=c,|F2A|=
3
c
,再利用椭圆的定义可得结论.
解答:解:由题意,∵A、B是以O(O为坐标原点)为圆心、|OF1|为半径的圆与该椭圆左半部分的两个交点,
∴|OA|=|OB|=|OF2|=c
∵△F2AB是正三角形,
|F2A|=
3
c

∴|F1A|=c,
∵|F1A|+|F2A|=2a
(1+
3
)c=2a

c
a
=
2
1+
3
=
3
-1

故选A.
点评:本题考查椭圆的性质和应用,考查椭圆的定义,属于基础题.
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