Question

5．已知过点P（2，1）的直线l交两坐标轴于A，B两点，
（1）求使得△AOB的面积为4时直线l的方程；
（2）当A，B两点在正半轴上，求使得AOB的面积最小时的直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）设出直线l的方程，根据题意列出方程组，求出直线l的方程即可；
（2）根据题意，写出A，B两点在正半轴上时的关系式，利用基本不等式求出ab的最小值，即得出△AOB的面积取得最小值，求出对应的a、b的值，即得直线l的方程．

解答 解：（1）根据题意，设过点P（2，1）的直线l的方程为$\frac{x}{a}$+$\frac{y}{b}$=1，
则$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1①，
又△AOB的面积为4，
∴$\frac{1}{2}$|ab|=4，
即ab=±8②；
由①②组成方程组，解得
$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4-4\sqrt{2}}\\{b=-2+2\sqrt{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a=-4+4\sqrt{2}}\\{b=-2-2\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
∴直线l的方程为$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，
或$\frac{x}{-4-4\sqrt{2}}$+$\frac{y}{-2+2\sqrt{2}}$=1，
或$\frac{x}{-4+4\sqrt{2}}$+$\frac{y}{-2-2\sqrt{2}}$=1；
化简，得x+2y-4=0，
或（-1+$\sqrt{2}$）x+（-2-2$\sqrt{2}$）y+4=0，
或（-1-$\sqrt{2}$）x+（-2+2$\sqrt{2}$）y+4=0；
（2）当A，B两点在正半轴上时，$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=1（a＞0，b＞0）；
即a+2b=ab，
∴a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，当且仅当a=2b时“=”成立；
∴ab≥2$\sqrt{2ab}$，
即ab-2$\sqrt{2ab}$≥0；
设$\sqrt{2ab}$=t，则t＞0，
∴ab=$\frac{1}{2}$t²，上述不等式化为$\frac{1}{2}$t²-2t≥0，
解得t≥4或t≤0，
即$\sqrt{2ab}$≥4，解得ab≥8；
∴△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$ab≥$\frac{1}{2}$×8=4，
当且仅当a=2b，即a=4，b=2时“=”成立；
∴△AOB的面积取最小值时直线l的方程为$\frac{x}{4}$+$\frac{y}{2}$=1，
化为一般方程是x+2y-4=0．

点评 本题考查了求直线方程的应用问题，也考查了三角形的面积公式与基本不等式的应用问题，是综合性题目．