题目内容

如图在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CD⊥AB，AB=1，则(
CA
•
CD
)(
CA
•
CE
)的最大值是
2
27
2
27
．
分析：设CA=x，CB=y，则x2+y2=1，求出CD，然后根据数量积公式求出(
CA
•
CD
)(
CA
•
CE
)，然后利用基本不等式进行求解，即可求出最大值．
解答：解：设CA=x，CB=y，则x2+y2=1
CD=
xy
1
=xy
∴
CA
•
CD
= |
CA
||
CD
| cosθ=x2•y• y=x2y2
CA
•
CE
=
CA
•
1
2
(
CA
+
CB
) =
1
2
x2
∴(
CA
•
CD
)(
CA
•
CE
)=
1
2
x4•y2=
1
2
x4（1-x2）=2•
x2
2
•
x2
2
（1-x2）≤2(
x2+x2+1-x2
3
)3=
2
27
．
故答案为：
2
27
点评：本题主要考查了向量的数量积，以及基本不等式求最值，有一定的难度，属于中档题．
练习册系列答案
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