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精英家教网在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=2
2
,M为AB的中点.
(Ⅰ)证明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角S-CM-B的大小;
(Ⅲ)求点B到平面SCM的距离.
分析:(Ⅰ)欲证AC⊥SB,取AC中点D,连接DS、DB.根据线面垂直的性质定理可知,只须证AC⊥SD且AC⊥DB,即得;
(Ⅱ)欲求二面角N-CM-B的大小,可先作出二面角的平面角,结合SD⊥平面ABC.过D作DE⊥CM于E,连接SE,则SE⊥CM,
从而得出∠SED为二面角S-CM-A的平面角.最后在Rt△SDE中求解即可;
(Ⅲ)设点B到平面SCM的距离为h,利用等到体积法:VB-SCM=VS-CMB,即可求得点B到平面SCM的距离.
解答:精英家教网证明:(Ⅰ)取AC中点D,连接DS、DB.
∵SA=SC,BA=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥DB,
∴AC⊥平面SDB,又SB?平面SDB,
∴AC⊥SB.
(Ⅱ)解:∵SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,
∴SD⊥平面ABC.
过D作DE⊥CM于E,连接SE,则SE⊥CM,
∴∠SED为二面角S-CM-A的平面角.
由已知有DE
.
1
2
AM
,所以DE=1,又SA=SC=2
2
,AC=4,∴SD=2.
在Rt△SDE中,tan∠SED=
SD
DE
=2,
∴二面角S-CM-A的大小为arctan2,
∴二面角S-CM-B的大小为π-arctan2.
(Ⅲ)解:在Rt△SDE中,SE=
SD2+DE2
=
5
,CM是边长为4正△ABC的中线,CM=2
3

∴S△SCM=
1
2
CM•SE=
1
2
×2
3
×
5
=
15

设点B到平面SCM的距离为h,
由VB-SCM=VS-CMB,SD⊥平面ABC,得
1
3
S△SCM•h=
1
3
S△CMB•SD,
∴h=
S△CMB•SD
S△SCM
=
4
5
5
.即点B到平面SCM的距离为
4
5
5
点评:本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力.
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