题目内容
在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA=SC=22 |
(Ⅰ)证明:AC⊥SB;
(Ⅱ)求二面角S-CM-B的大小;
(Ⅲ)求点B到平面SCM的距离.
分析:(Ⅰ)欲证AC⊥SB,取AC中点D,连接DS、DB.根据线面垂直的性质定理可知,只须证AC⊥SD且AC⊥DB,即得;
(Ⅱ)欲求二面角N-CM-B的大小,可先作出二面角的平面角,结合SD⊥平面ABC.过D作DE⊥CM于E,连接SE,则SE⊥CM,
从而得出∠SED为二面角S-CM-A的平面角.最后在Rt△SDE中求解即可;
(Ⅲ)设点B到平面SCM的距离为h,利用等到体积法:VB-SCM=VS-CMB,即可求得点B到平面SCM的距离.
(Ⅱ)欲求二面角N-CM-B的大小,可先作出二面角的平面角,结合SD⊥平面ABC.过D作DE⊥CM于E,连接SE,则SE⊥CM,
从而得出∠SED为二面角S-CM-A的平面角.最后在Rt△SDE中求解即可;
(Ⅲ)设点B到平面SCM的距离为h,利用等到体积法:VB-SCM=VS-CMB,即可求得点B到平面SCM的距离.
解答:证明:(Ⅰ)取AC中点D,连接DS、DB.
∵SA=SC,BA=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥DB,
∴AC⊥平面SDB,又SB?平面SDB,
∴AC⊥SB.
(Ⅱ)解:∵SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,
∴SD⊥平面ABC.
过D作DE⊥CM于E,连接SE,则SE⊥CM,
∴∠SED为二面角S-CM-A的平面角.
由已知有DE
AM,所以DE=1,又SA=SC=2
,AC=4,∴SD=2.
在Rt△SDE中,tan∠SED=
=2,
∴二面角S-CM-A的大小为arctan2,
∴二面角S-CM-B的大小为π-arctan2.
(Ⅲ)解:在Rt△SDE中,SE=
=
,CM是边长为4正△ABC的中线,CM=2
.
∴S△SCM=
CM•SE=
×2
×
=
,
设点B到平面SCM的距离为h,
由VB-SCM=VS-CMB,SD⊥平面ABC,得
S△SCM•h=
S△CMB•SD,
∴h=
=
.即点B到平面SCM的距离为
.
∵SA=SC,BA=BC,
∴AC⊥SD且AC⊥DB,
∴AC⊥平面SDB,又SB?平面SDB,
∴AC⊥SB.
(Ⅱ)解:∵SD⊥AC,平面SAC⊥平面ABC,
∴SD⊥平面ABC.
过D作DE⊥CM于E,连接SE,则SE⊥CM,
∴∠SED为二面角S-CM-A的平面角.
由已知有DE
∥ |
. |
1 |
2 |
2 |
在Rt△SDE中,tan∠SED=
SD |
DE |
∴二面角S-CM-A的大小为arctan2,
∴二面角S-CM-B的大小为π-arctan2.
(Ⅲ)解:在Rt△SDE中,SE=
SD2+DE2 |
5 |
3 |
∴S△SCM=
1 |
2 |
1 |
2 |
3 |
5 |
15 |
设点B到平面SCM的距离为h,
由VB-SCM=VS-CMB,SD⊥平面ABC,得
1 |
3 |
1 |
3 |
∴h=
S△CMB•SD |
S△SCM |
4
| ||
5 |
4
| ||
5 |
点评:本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力.
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