Question

5．若x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x-2y≤0}\\{x+2y-2≤0}\end{array}\right.$，z=ax+y的最大值为3，则a的值为-2或$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，联立方程组求出A、B、C的坐标，C点不满足z=ax+y的最大值为3，分别以A、B为使z=ax+y取最大值的最优解求得a的值，验证是否符合题意得答案．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x-2y≤0}\\{x+2y-2≤0}\end{array}\right.$作出可行域如图，

C（0，1），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-2=0}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$，解得B（1，$\frac{1}{2}$），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1=0}\\{x-2y=0}\end{array}\right.$，解得A（-2，-1）．
C（0，1）不满足z=ax+y的最大值为3；
若A（-2，-1）为z=ax+y取最大值的最优解，则-2a-1=3，解得a=-2，符合题意；
若B（1，$\frac{1}{2}$）为z=ax+y取最大值的最优解，则a+$\frac{1}{2}=3$，解得a=$\frac{5}{2}$，符合题意．
∴a的值为-2或$\frac{5}{2}$．
故答案为：-2或$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属中档题．