题目内容

已知向量
a
=（2cos
x
2
，tan（
x
2
+
π
4
）），
b
=（
2
sin（
x
2
+
π
4
），tan（
x
2
-
π
4
），令f（x）=
a
•
b
．是否存在实数x∈[0，π]，使f（x）+f'（x）=0（其中f'（x）是f（x）的导函数）？若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之．
分析：先表示出函数f（x）的解析式，然后对其求导．令f（x）+f′（x）=0可得答案．
解答：解：f（x）=
a
•
b
=2
2
cos
x
2
sin（
x
2
+
π
4
）+tan（
x
2
+
π
4
）tan（
x
2
-
π
4
）
=2
2
cos
x
2
（
2
2
sin
x
2
+
2
2
cos
x
2
）+
1+tan
x
2
1-tan
x
2
•
tan
x
2
-1
1+tan
x
2

=2sin
x
2
cos
x
2
+2cos2
x
2
-1
=sinx+cosx．
f（x）+f′（x）=0，
即：f（x）+f′（x）=sinx+cosx+cosx-sinx=2cosx=0．可得x=
π
2
，
当x=
π
2
时，tan（
x
2
+
π
4
）无意义
所以不存在实数x=
π
2
∈[0，π]，使f（x）+f′（x）=0
点评：本题主要考查向量的数量积运算和三角函数求导运算，是小综合题．向量和三角函数的综合是高考热点要给予重视．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=（2cosx，cos2x），
b
=（sinx，1），令f（x）=
a
•
b
，
（I）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[
π
8
，
3π
8
]且f（x）=
2
2
，求cos2x的值．
已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函数f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a为常数）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x1，x2，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，当且仅当x1=x2时取“=”．求证：当a＞
2π
3
时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
已知向量
a
=（2cosx，sin2x），
b
=（2sinx，cos2x）（x∈R），且f（x）=|
a
|-|
b
|，则f（x）的最大值
1
1
．
已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函数f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a为常数）．
（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（2）若函数g（x）的图象关于y轴对称，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知对任意实数x1，x2，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，当且仅当x1=x2时取“=”．求证：当a＞
2π
3
时，函数g（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
已知向量
a
=（2cosx，cos2x），
b
=（sinx，1），令f（x）=
a
•
b
，
（I）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）当x∈[
π
8
，
3π
8
]且f（x）=
2
2
，求cos2x的值．

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