题目内容

如图1，三棱柱是ABC-A₁B₁C₁直三棱柱，它的三视图如图2所示（N为B₁C₁中点）．
（Ⅰ）求证：MN∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）求三棱锥B-A₁NC的体积．

（Ⅰ）证明：由三视图可知，三棱柱的底面为边长为a的等腰直角三角形，侧面ACC₁A₁，底面BCC₁B₁是边长为a的正方形，且面ACC₁A₁⊥底面BCC₁B₁
设A₁B₁中点Q，连接MN，MQ，NQ
由题意可得NQ∥A₁C₁，MQ∥CC₁
∴NQ∥平面ACC₁A₁；MQ∥平面ACC₁A₁
∵MQ∩NQ=Q，
∴平面MNQ∥平面ACC₁A₁；
（Ⅱ）取AC的中点G，连接MG，NG，则MG∥BC
∵BC⊥面ACC₁A₁，
∴MG⊥ACC₁A₁，MG⊥A₁C
∵NC=NA₁
∴NG⊥A₁C，且NG∩MG=G
∴A₁C⊥平面MNG
∴MN⊥A₁C
连接NB，NA₁，则可得NB=NA₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵M为A₁B的中点
∴MN⊥A₁B
∵A₁C∩A₁B=A₁
∴MN⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）解：∵S_△BNC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁，A₁C₁⊥CC₁
∴A₁C₁⊥平面BCC₁B₁
∴A₁C₁即是点A₁到平面BNC的距离
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（I）先由三视图可知，三棱柱的底面为边长为a的等腰直角三角形，侧面ACC₁A₁，底面BCC₁B₁是边长为a的正方形，且面ACC₁A₁⊥底面BCC₁B₁，取A₁B₁中点Q，可先NQ∥A₁C₁，MQ∥CC₁即可证
（Ⅱ）取AC的中点G，可分别证明MN⊥A₁B，MN⊥平面A₁C，即可
（Ⅲ）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可求
点评：本题是中档题，考查空间几何体的体积，直线与平面的平行，平面与平面的垂直，考查基本定理的应用，考查计算能力，空间想象能力．