Question

设m，n，k∈N^*，且m≤n，k≤n，n≥2，给出下列四个命题：
①

C

m n

=

C

n-m n

；       ②在（1+x）ⁿ的展开式中，若只有x⁴的系数最大，则n=7；
③k

C

k n

=n

C

k-1 n-1

；      ④

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n•2n-1．
其中正确命题的个数有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：利用二项式系数的性质可得①正确，②不正确，由组合数的计算公式可得③正确，根据kC_kⁿ=nC_k-1^n-1 ，可得④正确，从而得出结论．

解答：解：由于m，n，k∈N^*，且m≤n，k≤n，n≥2，利用二项式系数的性质可得①

C

m n

=

C

n-m n

成立，故①正确．
②在（1+x）ⁿ的展开式中，若只有x⁴的系数最大，故只有

C

4 n

最大，故n=8，故②不正确．
再由组合数的计算公式可得k

C

k n

=

k•n!

k!(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k)!

，n

C

k-1 n-1

=

n•(n-1)!

(k-1)!•(n-k)!

=

n!

(k-1)!(n-k)!

，
故③正确．
④根据

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=nC_n-1⁰+nC_n-1¹+nC_n-1²+nC_n-1³+…+nC_n-1^n-1
=n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1）=n•2^n-1，故④正确．
综上，①③④正确，②不正确，
故选C．

点评：本题考查组合数的计算公式和组合数的性质：

C

m n

=

C

n-m n

 以及kC_kⁿ=nC_k-1^n-1 ，属于中档题．