Question

定义在R上的函数偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），且x∈[0，1]时，f（x）=1-x²；函数g(x)=

lgx，(x＞0) - 1 x ，(x＜0)

，则函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点的个数是（　　）

A．8

B．10

C．7

D．5

Answer 1

分析：已知函数偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），可知f（x）关于x=1对称，且x∈[0，1]时，f（x）=1-x²，根据偶函数的性质画出f（x）的图象，根据分段函数g(x)=

lgx，(x＞0) - 1 x ，(x＜0)

，画出g（x）的图象，利用数形结合的方法求出函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点个数；

解答：解：在R上的函数偶函数f（x）满足f（1+x）=f（1-x），f（x）关于x=1对称，
x∈[0，1]时，f（x）=1-x²又函数g(x)=

lgx，(x＞0) - 1 x ，(x＜0)

，
函数h（x）=f（x）-g（x）在区间[-5，5]内的零点的个数，即为f（x）=g（x）时的交点，
画出f（x）和g（x）的图象，

由上图可知f（x）与g（x）有8个交点，
∴h（x）在区间[-5，5]内的零点的个数为8个，
故选A；

点评：此题主要考查偶函数的性质，以及零点定理的应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，此题是一道中档题；