Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n²+2a_n，n为正整数．
（1）证明：数列{lg（2a+1）}为等比数列；
（2）设T_n=（2a₁+1）（2a₂+1）…（2a_n+1），b_n=log 2an+1T_n，若数列{b_n}的前n项之和S_n，并求使S_n＞2014的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）根据题设条件，利用配方法能得到2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²，再由构造法能够证明数列{lg（2a+1）}为等比数列．
（2）利用对数性质由（1）经过变形推导出a_n=

1

2

（3 2n-1-1），由此入手利用对数性质能求出T_n，再由分组求和法能求出S_n，从而能求出使S_n＞2014的n的最小值．

解答：解：（1）数列{a_n}中，
∵a₁=1，a_n+1=2a_n²+2a_n，
∴2a_n+1+1=4a_n²+4a_n+1=（2a_n+1）²．
∵lg（2a₁+1）=lg3≠0，（3分）
∴

lg(2an+1+1)

lg(2an+1)

=

lg(2an+1)2

lg(2an+1)

=2．
∴{lg（2a_n+1）}为等比数列．（7分）
（2）∵lg（2a₁+1）=lg3，
∴lg（2a_n+1）=2^n-1×lg3，
∴2a_n+1=3 2n-1，
∴a_n=

1

2

（3 2n-1-1）．（9分）
∵lgT_n=lg（2a₁+1）+lg（2a₂+1）+…+lg（2a_n+1）=（2ⁿ-1）lg3．
∴T_n=3 2n-1．（11分）
∴bn=log2an+1Tn
=

lgTn

lg(2an+1)

=

2n-1

2n-1

=2-(

1

2

)n-1，
∴S_n=2n-[1+

1

2

+…+(

1

2

)n-1]
=2n-2+2(

1

2

)n，（13分）
由S_n＞2014，得2n-2+2(

1

2

)n＞2014，n+(

1

2

)n＞1008，
当n＜1007时，n+(

1

2

)n＜1008，
当n≥1008时，n+(

1

2

)n＞1008，
∴n的最小值为1008．（16分）

点评：本题考查等比数列的证明和数列前n项和的求法及其应用，解题时要注意配方法、构造法、分组求和法的合理运用．