Question

设a_n是公差不为零的等差数列，S_n为其前n项和，满足a₂²+a₃²=a₄²+a₅²，S₇=7
（1）求数列a_n的通项公式及前n项和S_n；
（2）试求所有的正整数m，使得

amam+1

am+2

为数列a_n中的项．

Answer 1

分析：（1）先把已知条件用a₁及d表示，然后联立方程求出a₁，d代入等差数列的通项公式及前n项和公式可求．
（2）先把已知化简可得

am•am+1

am+2

=2m-9+

8

2m-3

，然后结合数列a_n的通项公式可寻求m满足的条件．

解答：解：（1）由题意可得

(a1+d)2+(a1+2d) 2=(a1+3d)2+(a1+4d)2 7a1+21d=7

联立可得a₁=-5，d=2
∴a_n=-5+（n-1）×2=2n-7，sn=-5n+

n(n-1)

2

×2=n2-6n
（2）由（1）知

amam+1

am+2

=

(2m-7)•(2m-5)

2m-3

=2m-9+

8

2m-3

若使为数列a_n中的项
则

8

2m-3

必需为整数，且m为正整数
m=2，m=1；
m=1时不满足题意，（a₁=-5是最小值）故舍去．
所以m=2．

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和的公式，解题的重点是要熟练掌握基本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力．