Question

7．如图所示，ABCD是正方形，CC₁⊥平面ABCD，且DD₁∥BB₁∥CC₁，菱形AB₁C₁D₁中，∠D₁C₁B₁=α．
（1）求证：BD∥平面AB₁C₁D₁
（2）若直线AC₁与平面ABCD所成的角为θ，求证：cosθ=tan$\frac{α}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知推导出△DD₁A≌△BB₁A，从而得到BDD₁B₁是矩形，进而得到BD∥B₁D₁，由此能证明BD∥平面AB₁C₁D₁．
（2）由已知得tan$\frac{α}{2}$=tan∠C₁AD₁=$\frac{{D}_{1}O}{AO}$=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{{AC}_{1}}$，由ABCD是正方形，得AC=BD=B₁D₁，从而cosθ=cos∠CAC₁=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{A{C}_{1}}$．由此能证明cosθ=tan$\frac{α}{2}$．

解答 证明：（1）∵菱形AB₁C₁D₁中，AD₁=AB₁，ABCD是正方形，
CC₁⊥平面ABCD，且DD₁∥BB₁∥CC₁，
∴△DD₁A≌△BB₁A，∴DD₁=BB₁，
∴BDD₁B₁是矩形，∴BD∥B₁D₁，
∵B₁D₁?平面AB₁C₁D₁，BD?平面AB₁C₁D₁，
∴BD∥平面AB₁C₁D₁．
（2）设AC₁∩B₁D₁=O，连结AC₁，AB₁，AC，
∵菱形AB₁C₁D₁中，AC₁⊥B₁D₁，∠D₁C₁B₁=α．
∴tan$\frac{α}{2}$=tan∠C₁AD₁=$\frac{{D}_{1}O}{AO}$=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{{AC}_{1}}$，
∵ABCD是正方形，∴AC=BD=B₁D₁，
∵直线AC₁与平面ABCD所成的角为θ，
∴cosθ=cos∠CAC₁=$\frac{AC}{A{C}_{1}}$=$\frac{{B}_{1}{D}_{1}}{A{C}_{1}}$．
∴cosθ=tan$\frac{α}{2}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查一个角的余弦值等于另一个角的半角的正切值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．