Question

5．已知关于x的方程2^x+3^x+6^x=7^x，则该方程的解为x=2．

Answer 1

分析 由2^x+3^x+6^x=7^x，可得（$\frac{1}{3}$）^x+（$\frac{1}{2}$）^x+1=（$\frac{7}{6}$）^x，利用y=（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x+1是减函数，y=（$\frac{7}{6}$）^x是增函数，知最多只有一解．验证x=2符合即可．

解答 解：∵2^x+3^x+6^x=7^x，
∴（$\frac{1}{3}$）^x+（$\frac{1}{2}$）^x+1=（$\frac{7}{6}$）x，
∵y=（$\frac{1}{2}$）^x+（$\frac{1}{3}$）^x+1是减函数，y=（$\frac{7}{6}$）^x是增函数，
∴最多只有一解．
当x≥3时，
∵左≤1+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{4}$=1+$\frac{13}{36}$，
右=（1+$\frac{1}{6}$）^x≥1+$\frac{1}{2}$，
∴x≥3无解．
当x=1时，2^x+3^x+6^x=11，7^x=7，不成立；
当x=2时，2^x+3^x+6^x=49，7^x=49，成立．
故x=2，
故答案为：2．

点评 本题考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．