题目内容
已知:如图,等腰直角三角形的直角边,沿其中位线将平面折起,使平面⊥平面,得到四棱锥,设、、、的中点分别为、、、.
(1)求证:、、、四点共面;
(2)求证:平面平面;
(3)求异面直线与所成的角.
(1)见解析;(2)见解析;(3).
【解析】
试题分析:(1)要证四点共面,只需找到一个平面,这四个点都在这个平面内,用确定平面的方法,两条平行线确定一个平面,即可证出;(2)要证明两个平面垂直,只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可,也就是只需证线面垂直即可,而要证线面垂直,只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线,这样,一步步寻找成立的条件即可;(3)求异面直线所成角,先平移两条异面直线中的一条,使它们成为相交直线,则相交直线所成角就是异面直线所成角或其补角,再放入三角形中计算即可.
试题解析:(1)由条件有为的中位线,为梯形的中位线
∥,∥
四点共面 3分
(2)证明:由等腰直角三角形有,
又,面 又∥
平面,平面
平面平面 6分
(3)由条件知
延长到,使,连结 8分
则,故为平行四边形 10分
,又
为异面直线BE与QM所成的角(或的补角) 11分
,且三线两两互相垂直
∴由勾股定理得 12分
ACR为正三角形,=,异面直线与所成的角大小为 13分.
考点:1.平面的基本性质;2.平面与平面垂直的判定;3.异面直线及其所成的角.
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