题目内容

设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＜b＜c)，在x＝1处取得极值，其图象在x＝m处的切线的斜率为－3a．

(Ⅰ)求证：；

(Ⅱ)若函数y＝f(x)在区间[s，t]上单调递增，求|s－t|的取值范围；

(Ⅲ)问是否存在实数k(k是与a，b，c，d无关的常数)，当x≥k时，恒有恒成立？若存在，试求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)方法一、．由题设，得　①

　　　②

　　∵，∴，∴．

　　由①代入②得，∴，

　　得∴或　③

　　将代入中，得　④

　　由③、④得；

　　方法二、同上可得：

　　将(1)变为：代入(2)可得：，

　　所以，则

　　方法三：同上可得：将(1)变为：代入(2)

　　可得：，显然，所以

　　因为图象的开口向下，且有一根为x1＝1

　　由韦达定理得，

　　，所以，即，则，由得：

　　所以：

　　方法四：由得：且，由此可知

　　(Ⅱ)由(Ⅰ)知，的判别式Δ＝

　　∴方程有两个不等的实根，

　　又，∴，

　　∴当或时，，当时，，

　　∴函数的单调增区间是，∴，

　　由知．

　　∵函数在区间上单调递增，∴，∴，

　　即的取值范围是；

　　(Ⅲ)由，即，

　　∵，

　　，∴，

　　∴或．

　　由题意，得，∴，

　　∴存在实数满足条件，即的最小值为．


练习册系列答案
相关题目

设三次函数f(x)的导函数为(x)，函数y＝x·(x)的图象的一部分如图所示，则

[　　]
A．

f(x)的极大值为f()，极小值为f(－)

B．

f(x)的极大值为f(－)，极小值为f()

C．

f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)

D．

f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)

对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设是函数y＝f(x)的导数y＝的导数，若方程＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”

请你将这一发现为条件，函数，则它的对称中心为________；

计算＝________．

设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＜b＜c)，在x＝1处取得极值，其图像在x＝m处的切线的斜率为－3a．

(1)求证：；

(2)若函数y＝f(x)在区间[s，t]上单调递增，求|s－t|的取值范围；

(3)问是否存在实数k(k是与a，b，c，d无关的常数)，当x≥k时，恒有恒成立？若存在，试求出k的最小值；若不存在，请说明理由．

对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，定义：设f″(x)是函数y＝f(x)的导数y＝f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．如“函数f(x)＝x3－3x2＋3x对称中心为点 (1,1)”请你将这一发现

 

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网