题目内容

已知函数f（x）=kx--2lnx，其中k∈R；
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调递增函数，求实数k的取值范围．
（2）若函数g（x）=，且k＞0，若在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，求实数k的取值范围．
【答案】分析：（1）因为f（x）在其定义域内的单调递增函数，所以f'（x）在（0，+∞）内满足f'（x）≥0恒成立，转化为求kx2-2x+k≥0对x∈（0，+∞）恒成立，然后利用分离参数法，转化为求函数的最值，即可求得实数k的取值范围．
（2）在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，等价于不等式f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，只需f（x）-g（x）的最大值大于0即可．
解答：解：（1），
因为f（x）在其定义域内的单调递增函数，
所以f'（x）在（0，+∞）内满足f'（x）≥0恒成立，
即kx2-2x+k≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
亦即，∴即可
又，
当且仅当，即x=1时取等号，∴使函数f（x）在其定义域内为单调增函数的实数k的取值范围是[1，+∞）．
（2）在[1，e]上至少存在一个x的值使f（x）＞g（x）成立，等价于不等式f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，
设，，
∴F（x）为[1，e]上的增函数，F（x）max=F（e），
依题意需∴实数k的取值范围是．
点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，函数最值的应用．基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题，体现了转化的数学思想，很好的考查了学生的计算能力．
练习册系列答案
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已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．
已知函数f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．
已知函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求实数k，a的值；
（2）若函数g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，试判断函数g（x）的奇偶性，并说明理由．
（2012•芜湖二模）给出以下五个命题：
①命题“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函数f（x）=k•cosx的图象经过点P（
π
3
，1），则函数图象上过点P的切线斜率等于-
3

③a=1是直线y=ax+1和直线y=（a-2）x-1垂直的充要条件．
④函数f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在区间（0，1）上存在零点．
⑤已知向量
a
=(1，-2)与向量
b
=(1，m)的夹角为锐角，那么实数m的取值范围是（-∞，
1
2
）
其中正确命题的序号是
②③④
②③④
．
（已知函数f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，设t=logax+logxa．
（Ⅰ）当x∈（1，a）∪（a，+∞）时，试将f（x）表示成t的函数h（t），并探究函数h（t）是否有极值；
（Ⅱ）当k=4时，若对任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），试求实数b的取值范围．．

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